Вопросы к экзамену по Аналитической Геометрии.

После каждого вопроса приведен комментарий, в котором перечислено все, что требуется ответить по данному вопросу.

Часть 1. Системы линейных уравнений, матрицы и определители.

1.      Системы линейных уравнений. Метод Гаусса для их решения.

Системы линейных уравнений. Матрица системы уравнений и столбец из правых частей. Элементарные преобразования строк и приведение матрицы к ступенчатому виду. Зависимые и независимые переменные. Ранг матрицы и теорема Кронекера–Капелли. Продемонстрировать умение решать системы линейных уравнений методом Гаусса на конкретном примере системы из 2-х уравнений с 3-мя неизвестными.

2.      Системы линейных уравнений. Метод Крамера для их решения.

Системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Формула Крамера для решения системы линейных уравнений с матрицей 2´2. Понятие определителя матрицы 2´2. Формула Крамера для системы из n линейных уравнений с n неизвестными.

3.      Определители квадратных матриц произвольного размера. Свойства определителей.

Индуктивное построение определителя матрицы n´n при помощи разложения по первой строке. Разложение определителя по произвольной строке и по произвольному столбцу (без доказательства). Изменение определителя матрицы при 1) транспонировании, 2) перестановке двух строк либо двух столбцов, 3) умножении строки либо столбца на некоторое число, 4) добавлении одной строки к другой либо одного столбца к другому (доказательство на примере матриц 2´2 и 3´3). Определители диагональной и треугольной матрицы; алгоритм вычисления определителя при помощи элементарных преобразований.

4.      Умножение матриц. Понятие об обратной матрице и способы ее вычисления.

Умножение двух прямоугольных матриц. Ассоциативность умножения матриц (без доказательства) и отсутствие коммутативности умножения матриц (на конкретном примере). Умножение квадратных матриц, понятие об обратной матрице. Вычисление обратной матрицы при помощи элементарных преобразований (описание алгоритма). Определитель произведения двух матриц (без доказательства). Определитель обратной матрицы.

Часть 2. Векторная алгебра.

5.      Понятие вектора. Геометрические и свободные векторы. Алгебраические операции с векторами. Свойства алгебраических операций с векторами.

Определение геометрического вектора. Понятие равенства двух геометрических векторов. Свободные векторы и их геометрические реализации. Сложение свободных векторов (правило треугольника и правило параллелограмма). Свойства алгебраических операций с векторами: восемь основных свойств.

6.       Коллинеарность, компланарность и линейная зависимость векторов.

Линейные комбинации векторов, коэффициенты линейной комбинации и ее значение (равенство нулю, тривиальность и нетривиальность линейных комбинаций). Определение линейной зависимости для системы векторов (в терминах линейных комбинаций). Формулировка условия линейной независимости векторов. Геометрические свойства — коллинеарность и компланарность для систем из двух и из трех векторов, связь этих свойств с линейной зависимостью. Линейная зависимость системы из четырех и более векторов в пространстве.

7.      Базисы на прямой, на плоскости, и в пространстве. Единственность разложения вектора в базисе.

Понятие базиса на прямой, на плоскости, и в пространстве. Прямоугольные и косоугольные базисы. Разложение векторов по базису, координаты векторов (геометрические построения, используемые для разложения векторов по базису на плоскости и в пространстве). Линейная независимость базисных векторов, единственность разложения вектора по базису.

8.      Замена базиса. Матрицы перехода. Пересчет координат вектора при замене базиса.

Пары базисов в пространстве. Разложение векторов одного базиса по другому и матрицы перехода. Связь между матрицами прямого и обратного перехода. Пересчет координат вектора при замене базиса.

9.      Скалярное произведение векторов и его свойства. Вычисление скалярного произведения векторов по их координатам в косоугольном базисе. Матрица Грама. Ортонормированный базис.

Геометрическое определение скалярного произведения векторов по их длинам и углу между ними. Четыре свойства скалярного произведения: симметричность, два свойства, составляющие линейность, и положительная определенность. Формула для вычисления скалярного произведения по координатам векторов в косоугольном базисе, понятие о матрице Грама. Та же формула в применении к ортонормированному базису (вместе с определением ортонормированного базиса).

10.  Векторное произведение векторов и его свойства. Вычисление векторного произведения векторов по их координатам в ортонормированном базисе.

Правые и левые упорядоченные тройки векторов в пространстве. Геометрическое определение векторного произведения векторов по их длинам и углу между ними. Четыре свойства векторного произведения: антисимметричность, два свойства, составляющие линейность, и условие зануления. Формула для вычисления векторного произведения по координатам векторов в ортонормированном правом базисе. Символ Леви–Чивита. Вычисление площади параллелограмма при помощи векторного произведения.

11.  Смешанное произведение векторов и его свойства. Геометрическая интерпретация смешанного произведения. Ориентированный объем базиса.

Определение смешанного произведения векторов как композиции скалярного и векторного произведений. Четыре свойства смешанного произведения: полная антисимметричность, два свойства, составляющие линейность, и условие зануления. Вычисление смешанного произведения по координатам векторов в ортонормированном правом базисе и в косоугольном базисе. Объем косоугольного параллелепипеда, построенного на базисных векторах, его связь со смешанным произведением, понятие ориентированного объема.

12.  Вычисление векторного произведения по координатам векторов в косоугольном базисе.

Структурные константы векторного произведения. Формулы для вычисления векторного и смешанного произведения по координатам векторов в косоугольном базисе с использованием структурных констант. Вычисление структурных констант через символ Леви–Чивита и матрицу Грама.

13.  Формулы свертки.

Запись и вывод четырех формул свертки, связывающих символ Леви–Чивита с символом Кронекера.

14.  Формула двойного векторного произведения.

Вывод формулы двойного векторного произведения на основе задачи 3.13 из задачника Беклемишева Л. А., Петрович А. Ю., Чубаров И. А. «Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре».

Часть 3. Геометрия линий и поверхностей.

15.  Уравнения прямой на плоскости.

Различные способы задания прямой на плоскости и соответствующие уравнения: 1) векторно-параметрическое уравнение, 2) координатно-параметрическое уравнение, 3) нормальное векторное уравнение, 4) общее уравнение в координатах, 5) каноническое уравнение в координатах, 6) уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, 7) уравнение прямой в отрезках.

16.  Уравнения плоскости в пространстве.

Различные способы задания плоскости в пространстве и соответствующие уравнения: 1) векторно-параметрическое уравнение, 2) координатно-параметрическое уравнение, 3) нормальное векторное уравнение, 4) общее уравнение в координатах, 5) уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, 6) уравнение плоскости в отрезках.

17.  Уравнения прямой в пространстве. Взаимное расположение двух прямых.

Различные способы задания прямой в пространстве и соответствующие уравнения: 1) векторно-параметрическое уравнение, 2) координатно-параметрическое уравнение, 3) векторное уравнение, 4) каноническое уравнение в координатах, 5) уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, 6) задание прямой в виде пересечения двух плоскостей.

18.  Геометрическое определение эллипса и каноническое уравнение. Числовые параметры и геометрические свойства эллипса.

Геометрическое условие, определяющее эллипс, вывод канонического уравнения из этого свойства. Полуоси и фокусы эллипса. Эксцентриситет. Директрисы эллипса. Фокальное свойство эллипса и свойство директрис эллипса.

19.  Геометрическое определение гиперболы и каноническое уравнение. Числовые параметры и геометрические свойства гиперболы.

Геометрическое условие, определяющее гиперболу, вывод канонического уравнения из этого свойства. Полуоси и фокусы гиперболы. Эксцентриситет. Директрисы гиперболы. Фокальное свойство гиперболы и свойство директрис гиперболы.

20.  Геометрическое определение параболы и каноническое уравнение. Числовые параметры и геометрические свойства параболы.

Геометрическое условие, определяющее параболу, вывод канонического уравнения из этого свойства. Директриса параболы. Фокальное свойство параболы.

Учебники по курсу "Аналитическая геометрия".

1.  Алексеандров П. С. "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры" (516-А46).

2.  Привалов И. И. "Аналитическая геометрия".

3.  Беклемишев Д. В. "Курс аналитической геометрии и линейной алгебры" (516-Б42).

4.  Гельфанд И. М. "Лекции по линейной алгебре" (512-Г32).

5.  Кострикин А. И., Манин Ю. И. "Линейная алгебра и геометрия" (512-К72).

6.  Постников М. М. "Аналитическая геометрия" (516-П63).

7.  Постников М. М. "Линейная алгебра и дифференциальная геометрия" (512-П63).

8.  Ильин В. А., Позняк Э. Г. "Аналитическая геометрия" (516-M74).

9.  Погорелов А. В. "Аналитическая геометрия". (516-П43)

10.  Беклемишева Л. А., Петрович А. Ю., Чубаров И. А. "Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре" (516-Б42).

WEB-сайты с электронными учебниками.

Сайт бесплатных учебников Р.А. Шарипова: http://www.freetextbooks.narod.ru

Сайт колхоза: http://homelinux.org