Вопросы к экзамену по Высшей Алгебре.
После каждого вопроса приведен комментарий, в котором перечислено все, что требуется ответить по данному вопросу.
Часть 1. ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.
1. Комплексные числа.
Матричное определение комплексных чисел и определение комплексного числа как пары двух вещественных чисел, соединенных символом i. Вещественная и мнимая часть комплексного числа, операция комплексного сопряжения, модуль комплексного числа. Определение алгебраических операций с комплексными числами (сложение, вычитание, умножение и деление). Тригонометрическая форма записи комплексного числа, аргумент комплексного числа, комплексная экспонента и комплексный логарифм. Извлечение корней n-ой степени, решение алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами.
2. Линейные векторные пространства.
Определение линейного векторного пространства, аксиоматика (8 аксиом). Простейшие следствия из аксиом (5 свойств). Примеры линейных векторных пространств (арифметическое линейное векторное пространство). Определение подпространства.
3. Линейная зависимость и независимость.
Определение линейной зависимости и независимости для систем векторов. Свойства линейной зависимости (5 свойств). Теорема Штейница (без доказательства).
4. Порождающие системы и базисы. Координаты векторов.
Понятие линейной оболочки системы векторов и понятие порождающей системы векторов для подпространства. Минимальность порождающих систем векторов, связь свойств минимальности и линейной независимости (доказательства приводить для систем из конечного числа векторов). Понятие размерность для конечномерных пространств. Свойства размерности (4 свойства). Критерий базиса и теорема о дополнении базиса из подпространства.
5. Координаты векторов. Преобразование координат векторов при замене базиса.
Единственность разложения вектора по базису. Замена базиса. Определение матрицы перехода. Матрицы прямого и обратного переходов их связь. Соглашение о расстановке индексов при нумерации базисных векторов и координат. Изменение координат вектора при замене базиса (вывод формулы).
6. Пересечения и суммы подпространств.
Пересечение подпространств. Определение суммы подпространств. Критерий принадлежности вектора сумме подпространств. Определение прямой суммы подпространств. Составной базис и теорема о размерности прямой суммы нескольких подпространств. Размерность суммы (не обязательно прямой суммы) двух подпространств (без доказательства).
7. Множества и отображения.
Множества, элементы множества и его подмножества. Что означает равенство двух множеств A=B ? Понятие отображения, область определения, область значений и множество значений. Понятие образа и полного прообраза для элементов. Понятие образа и полного прообраза для подмножеств. Композиция отображений, ассоциативность композиции, тождественное отображение. Определение сюръективности, инъективности и биективности. Способы проверки этих свойств. Биективные отображения, понятие обратного отображения для них. Сужение и продолжение отображений.
8. Линейные отображения.
Определение линейных отображений. Линейность тождественного отображения. Линейность композиции двух отображений и линейность отображения, являющегося обратным к линейному отображению. Ядро и образ линейного отображения. Инъективность и сюръективность для линейных отображений. Изоморфизм линейных пространств. Сохранение размерности при изоморфизме (без доказательства).
9. Матрица линейного отображения.
Определение матрицы линейного отображения. Задание линейных отображений при помощи матриц. Измерение матрицы линейного отображения при замене базисов (вывод формулы). Теорема о приведении матрицы линейного отображения к почти диагональному виду (без доказательства). Теорема о сумме размерностей ядра и образа. Понятие о ранге линейного отображения.
Часть 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
10. Линейные операторы.
Линейные операторы как частный случай линейных отображений. Операция композиции и ее алгебраические свойства. Обратимые линейные операторы. Сюръективность и инъективность в случае линейных операторов.
11. Матрица линейного оператора.
Определение матрицы линейного оператора. Использование матриц линейных операторов при выполнение алгебраических операций с ними (сложение, умножение на число, композиция). Изменение матрицы линейного оператора при замене базиса. Детерминант линейного оператора. Невырожденность и биективность линейных операторов (без доказательства).
12. Инвариантные подпространства. Сужение операторов.
Определение инвариантных подпространств для заданного линейного оператора. Сужение операторов на инвариантные подпространства. Выбор базиса, связанного с инвариантным подпространством и вид матрицы линейного оператора в таком базисе. Выбор базиса и строение матрицы линейного оператора в случае, когда пространство разбивается в прямую сумму инвариантных подпространств этого оператора.
13. Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.
Определение собственного числа и собственного вектора для линейного оператора. Характеристический полином линейного оператора. Связь собственных чисел с корнями характеристического полинома (сравнить случаи операторов в пространствах над полями рациональных, вещественных и комплексных чисел). Понятие собственного подпространства, отвечающего заданному собственному числу. Инвариантность собственных подпространств. Теорема о прямой сумме собственных подпространств линейного оператора (без доказательства). Теорема о линейной независимости собственных векторов отвечающих различным собственным числам\ (без доказательства).
14. Корневые подпространства, базисы из цепочек и Жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора.
Определение корневого подпространства. Инвариантность корневых подпространств. Две теоремы о сумме корневых подпространств (без доказательства). Выбор базиса, составленного из базисов в корневых подпространствах и вид матрицы линейного оператора в таком базисе. Цепочки векторов, начальный вектор и крайний вектор в цепочке. Теорема о линейной независимости цепочек векторов с линейно независимыми крайними векторами (без доказательства). Теорема о базисе из цепочек (без доказательства). Вид матрицы линейного оператора в базисе из цепочек. Жордановы клетки. Жордановы блоки и жорданова нормальная форма матрицы линейного оператора. Теорема Гамильтона-Кэли (без доказательства).
Часть 3. СОПРЯЖЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО.
15. Линейные функционалы. Векторы и ковекторы. Сопряженное пространство.
Определение линейного функционала. Алгебраические операции с линейными функционалами (сложение и умножение на число). Пространство линейных функционалов. Координатные функционалы и сопряженный базис. Подсчет размерности сопряженного пространства. Координаты ковектора. Изменение сопряженного базиса при замене базиса в исходном пространстве. Преобразование координат ковектора при замене базиса.
Часть 4. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.
16. Билинейные и квадратичные формы. Формула восстановления. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Индексы инерции и сигнатура.
Определение билинейных и квадратичных форм. Связь симметричных билинейных форм с квадратичными формами. Матрица билинейной формы. Теорема о приведении матрицы билинейной формы к диагональному виду (без доказательства). Сравнение вещественного и комплексного случаев.
17. Положительно определенные квадратичные формы и евклидовы пространства.
Понятие положительно определенной квадратичной формы и сравнение его с понятием скалярного произведения в реальном трехмерном пространстве. Критерий Сильвестра (без доказательства). Понятие евклидового пространства. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца и неравенство треугольника (без доказательства). Поняте угла между векторами в многомерном евклидовом пространстве. Матрица Грама и обратная матрица Грама.